-
.Wolfpack..
User deleted
I numeri primi
I problemi con i numeri primi sono davvero tantissimi. Ve ne propongo solo alcuni dei piu' famosi.
Cosa sono i numeri primi? Definizione e prime nozioni
Le coppie di numeri primi
I numeri primi ed i numeri pari
Come sempre basta seguire questo link per tornare alla mia HomePage
Cosa sono i numeri primi?
I numeri primi sono particolari numeri naturali (ovvero interi positivi come 1,2,3, 12468, escludendo lo 0) divisibili solo per uno e per se stessi. Sono cioe' primi 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19,... ma non il 9 o il 4.
Come si vede l'unico numero primo pari e' il 2. Il numero 1 si puo' considerare primo.
Una prima questione e' quanti sono i numeri primi, ovvero se sono un numero finito o infinito: ebbene e' stato dimostrato che sono un numero infinito e precisamente sono tanti quanti sono tutti i numeri naturali. Questo naturalmente non vi stupisce: voi sapete che i numeri pari sono quanto tutti i numeri (non la meta'!!!) e che ogni sottoinsieme infinito dei numeri naturali contiene tanti elementi quanto l'insieme stesso.
Un primo problema potrebbe essere quello di cercare un metodo per avere ad esempio il k-esimo numero primo, utilizzando la sola k. Bene non e' possibile: dovrete mettervi a calcolarli cominciando dal primo, finche' non arrivate a quello voluto. Notate che questa funzione (che associa al numero k il k-esimo numero primo) esiste senz'altro, ma non c'e' modo di scriverla in termini semplici (l'opposto di un ufo matematico si vede ma forse non esiste: questo esiste ma non si vede.)
Per finire non pensiate che i numeri primi siano un divertimento per i matematici: numeri primi molto grandi sono utilissimi ad esempio nel campo della crittografia (ma anche piu' semplicemente per generare dei numeri pseudo-casuali).
Vi siete un po' interessati all'argomento: bene leggete allora due problemi molto famosi al riguardo.
Le coppie di numeri primi
Anzitutto definiamo una coppia di numeri primi:
Si dice coppia di numeri primi di ampiezza k se dati due numeri primi la loro differenza e' k
Ad esempio 3 e 5 sono una coppia di ampiezza 2, 3 e 7 di ampiezza 4 eccetera.
Il quesito e' il seguente: queste coppie sono finite o infinite. Il problema riguarda le coppie di tutte le classi, ma potete limitarvi al caso di ampiezza 2 (coppie come 3-5; 101-103....). Tanto perche' non perdiate tempo vi dico subito che fissato un generico k dato un numero primo x non c'e' modo di stabilire se x+k sia anch'esso primo, attraverso una funzione elementare della sola x, cioe' io non la conosco.Comunque credo che si debba percorrere un'altra strada (altrimenti sarebbe stato troppo facile no?).
La soluzione di questo problema sarebbe davvero interessante: se sono un numero infinito potremmo chiederci come mai questi numeri che divengono sempre piu' rari (ovvero la differenza media tra due numeri primi consecutivi cresce, ma non so se tende a infinito) si trovano sempre e comunque delle coppie di ampiezza 2. Se sono un numero finito (non credo) sara' curioso conoscere la piu' alta coppia di questo tipo di ampiezza 2, quindi quella di ampiezza 4 eccetera.
Non perdetevi il prossimo problema...
Numeri pari e numeri primi
Strano binomio questo, non trovate? Quelli divisibili sempre e quelli non divisibili mai. Cosa li accumuna. Semplicemente il fatto che la somma di due numeri dispari e' pari. La prova e' ovvia (detti 2k+1 e 2m+1 due qualunque numeri dispari la loro somma e' 2k+2m+2 che e' evidentemente pari). Allora considerate il seguente problema
Sia n un numero pari qualsiasi. Allora esistono sempre due numeri primi non necessariamente distinti p, q tali che p + q = n
Sembra evidente: 2 = 1+1; 4 = 3+1; 6 = 3+3; 6 = 5+1; 8 = 7+1; 8 = 5+3; 10 = 5+5; ... 1234 = 1231 +4; .... ;1234 = 617 + + 617; ...
Invece non lo e' affatto. Tentate una dimostrazione e ve ne accorgerete subito. Ricordate infatti che se il numero e' 123456789012345678 non saranno molte le coppie di numeri primi la cui somma e' quel numero (in confronto al totale delle coppie di numeri non primi e di coppie miste).
Riassumendo si ha che dato x pari esiste senz'altro un numero primo p< x c'e' un numero primo p per cui y <="p" < x. )
Come stabilire se x-p e' anch'esso primo? A voi l'ardua sentenza.
A per non lasciarvi senza far nulla, casomai risolviate questi problemi, potete sempre considerare questo:
Sia n un numero dispari maggiore di 1. Allora esistono tre numeri primi non necessariamente distinti p, q, r per cui p+q+r = n
Potete usare il precedente se lo avete provato. (Notata anche in questo caso che 3 = 1+1+1; 5= 3+1+1; 7 = 5+1+1; 7 = 3+3+1; 9 = 5+3+1; .... 12345 = 12227 + 113 + 5; ...)
Fonte: geocities.com
.
I numeri primistoria, definizione, come si calcolano, appunti matematica |
