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EQUAZIONI DI SECONDO GRADO
Qui di seguito andremo ad esaminare le equazioni di II grado in un’incognita.
Un’equazione si dice di II grado quando il grado (l’esponente) massimo dell’incognita (che di solito è indicata con x, ma può essere indicata con y, con z, con t ecc.) è due.
Ci sono vari tipi d’equazioni di II grado; esse possono essere complete o incomplete.
Le incomplete possono essere spurie e pure.
Vediamo i vari tipi in dettaglio.
-EQUAZIONI DI II GRADO COMPLETE
Un’equazione del tipo ax2+bx+c=0 è un’equazione di secondo grado completa ridotta in forma normale; dove a è il coefficiente di x2, b è il coefficiente di x e c è il termine noto; a, b, c sono numeri sia positivi sia negativi e si vedono subito nell’esercizio.
Si dice completa perché presenta sia a, sia b, sia c, cioè presenta tre termini: il termine quadratico ax2, il termine di primo grado bx e il termine noto.
Per risolvere un’equazione di secondo grado bisogna calcolare il con la seguente formula:
= b2-4ac, ossia si sostituiscono ad a, b, c i valori che hanno nell’equazione. Si possono avere tre casi: il ∆ può essere un numero positivo, uguale a zero (nullo) o negativo.
a) Se il è un numero positivo allora le soluzioni sono due e sono distinte; si calcolano con la formula risolutiva: , ossia e .
b) Se il =0 allora ci sono due soluzioni coincidenti (in pratica uguali) e si calcolano con la formula . (Perché? Se il ∆=0 ; x1 diventa uguale a x2)
c) Se il <0 l’equazione è impossibile, cioè non ha soluzioni. (Perché? Perché la radice quadrata di un numero negativo non esiste).
Esempi
1) Risolvere la seguente equazione: x2-6x+8=0.
Osserviamo dal testo dell’esercizio che a =1 b=-6 c =8 quindi = b2-4ac= (-6)2-418= 36-32=4>0; il delta è positivo allora ci sono due soluzioni reali e distinte che calcoliamo con la formula risolutiva ossia e .
2) Risolvere la seguente equazione: x2+6x+9=0; vediamo che a =1 b=+6 c =9 il = (6)2-419= 36-36=0, quindi siamo nel secondo caso e ci sono due soluzioni reali e coincidenti .
3) Risolvere la seguente equazione: 3x2+2x+2=0; vediamo che a =3 b=+2 c =2 il = (2)2-432= 4-24=-20 il ∆<0 quindi l’equazione è impossibile.
Come si ricava la formula risolutiva?
Data un’equazione del tipo ax2+bx+c=0, possiamo riscriverla mettendo in evidenza la a come (se eseguite il prodotto vedete che si ottiene il trinomio di partenza!). Dentro la parentesi tonda aggiungiamo e togliamo il seguente termine b2/4a2 e si ottiene . La a si può togliere perché dividiamo entrambi i termini dell’equazione per a che è diverso da zero, e notiamo che i primi tre termini dentro la parentesi tonda sono il quadrato del binomio (x+b/(2a)) cioè = , quindi risolvere l’equazione significa risolvere ; da cui isolando si ha = ; riduciamo i termini al secondo membro allo stesso denominatore si ha = ; calcoliamo da cui (dove si è portato fuori dalla radice 4a2 al denominatore). Infine sommando i due termini al secondo membro e indicando b2-4ac= otteniamo la formula risolutiva
(Si consiglia di leggere anche l’articolo “Equazioni di II grado complete”, perché lì si esamina anche la formula risolutiva ridotta).
-EQUAZIONI SPURIE*
Un’equazione di II grado si dice Spuria quando manca il termine noto C; cioè è della forma ax2+bx=0. Ha due soluzioni distinte, di cui una sempre uguale a zero.
Questo tipo si equazioni si risolvono velocemente scomponendo l’equazione con il raccoglimento a fattore comune ossia mettendo in evidenza la x:
ax2+bx=x(ax+b)=0; di qui poiché il prodotto di due numeri è uguale a zero quando uno dei due fattori è uguale a zero, si pone x=0 e ax+b=0; x=0 dà sempre la soluzione 0 e l’altra equazione ax+b=0 dà come soluzione x=-b/a.
Esempi
1) Risolvere la seguente equazione 5x2-3x=0 si mette in evidenza la x e si ha:
x(5x-3)=0; poiché un prodotto si annulla quando uno dei fattori è uguale ha zero si pone x=0 e 5x-3=0.x
Quindi una soluzione è x=0; l’altra si ricava risolvendo l’equazione di I grado 5x-3=0 e cioè 5x=3 x=3/5.
2) Risolvere la seguente equazione 8x2+4x=0: si mette in evidenza la 4x e si ha
4x(2x+1)=0 da cui 4x=0 che porta alla soluzione x=0 e 2x+1=0 che, ricavando la x, dà la soluzione x=-1/2
-EQUAZIONI PURE*
Un’equazione di II grado si dice Pura quando manca il termine della x (b=0) ossia è della forma ax2+c=0.
Questo tipo di equazione si risolve semplicemente isolando, ricavando, la x2 (cioè mettendo la x2 da una parte e i numeri dall’altra come un’equazione di I grado!) ossia ax2=-c quindi x2=-c/a. Di seguito le due soluzioni si calcolano estraendo la radice quadrata di –c/a: .
Dovendo calcolare la radice quadrata di –c/a, l’equazione ha due soluzioni opposte se –c/a è ≥0 oppure è impossibile se –c/a <0 (la radice quadrata di un numero negativo non esiste).
Esempi
1) Risolviamo le seguente equazione 2x2-8=0: spostiamo -8 a destra che diventa 8; 2x2=8; dividiamo 8 per 2, che è il coefficiente di x2, x2=8/2=4 e calcoliamo infine la radice quadrata di 4, perché è un numero positivo, da cui , cioè ci sono due soluzioni reale e opposte.
2) Risolviamo la seguente equazione x2+25=0: x2=-25, l’equazione è impossibile perché non esiste la radice quadrata di –25.
*Ovviamente per risolvere l’equazioni pure e spurie si può usare anche la formula risolutiva sostituendo al posto di b o c il numero 0; però questo è un procedimento + lungo e - appropriato.
Cosa succede se in un’equazione di II grado mancano sia la b che la c?
Un’equazione di II grado con b=0 e c=0 è del tipo ax2=0 e si dice monomia.
E’ un caso particolarissimo di equazione di II grado ( non capita quasi mai di incontrarlo negli esercizi a scuola!). Si risolve come un’equazione pura dove c=0 quindi ricavando x2 si ha da cui ; le due soluzioni sono sempre coincidenti e uguali a zero.
Cosa succede se in un’equazione manca la a?
L’equazione, dove non c’è la a, e quindi dove non c’è il termine quadratico, non è più di II grado, ma di I.
Cosa si fa se l’equazione non è presentata in forma normale?
Si riduce in forma normale eseguendo tutte le operazioni come in una normale espressione algebrica (prodotti, scomposizioni, m.c.m. ecc.), poi si sommano tutti i termini con x2, tutti i termini con le x e tutti i numeri. Si vede il tipo di equazione (se è completa, incompleta spuria o pura) e infine si risolve con il metodo più appropriato.
Esempi
1) Risolvere la seguente equazione : calcolando il quadrato del binomio al primo membro e riducendo allo stesso denominatore 2 si ha ; togliendo il denominatore comune si ha ; portando tutti i termini al I membro si ha ; sommando i termini simili si ha , che è un’equazione completa, dove a=1 b=-5 c=-5 quindi ∆=(-5)2-4∙1∙(-5)=25+20=45>0
2) Risolvere la seguente equazione ; poiché è un’equazione fratta calcoliamo il campo d’esistenza ed il m.c.m. dei denominatori: C.E. x≠+3,-3 ed il m.c.m=x2-9; riduciamo allo stesso denominatore ; togliamo il denominatore comune ed eseguiamo tutte le operazioni ; portiamo tutto allo stesso membro e sommiamo i termini simili ; si ha un’equazione completa, dove a=2 b=-9 c=-45 quindi
∆=(9)2-4∙2∙(-45)=81+360=441>0
e che è non accettabile perché il C.E. x≠+3,-3.
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